Пошук
загрузка...
Книги
Счетчик

АНАЛІЗ РЯДІВ РОЗПОДІЛУ

МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ

Ряд розподілу характеризує склад і структуру сукупності за певною ознакою. Він утворюється з двох елементів: варіант — значень групувальної ознаки xj та частот (часток) fj. Співвідношенням варіант і частот подається закономірність розподілу.

Залежно від статистичної природи варіант ряди розподілу поділяються на атрибутивні та варіаційні. Частотними характеристиками будь-якого ряду є абсолютна чисельність j-ї групичастота fj, відносна частота j-ї групи — частка dj, для варіаційних рядів також кумулятивна частотачастка .

Очевидно, що, а , або 100 %. Кумулятивні характеристики визначаються послідовним об’єднанням груп і підсумовуванням відповідних їм частот (часток).

Аналіз закономірностей розподілу ґрунтується на характеристиках: а) центру розподілу; б) варіації; в) форми розподілу (асиметрії, концентрації).

До характеристик центру розподілу відносять середню, моду та медіану. Середня величина характеризує типовий рівень ознаки в сукупності. За даними ряду розподілу середня обчислюється як арифметична зважена, де вагами є частоти fj або частки dj:

, ,

де j — номер групи; m — кількість груп.

В інтервальних рядах, припускаючи рівномірний розподіл елементів сукупності в межах j-го інтервалу, за варіанту  беруть середину інтервалу. При цьому ширину відкритого інтервалу умовно вважають такою самою, як і сусіднього закритого інтервалу.

Модою (Мо) називають найпоширеніше значення ознаки.
У дискретному ряді її визначають візуально за найбільшою частотою (часткою). В інтервальному ряді за таким принципом знаходять модальний інтервал, всередині якого конкретне модальне значення обчислюють за інтерполяційною формулою:

де  та h — відповідно нижня межа та ширина модального інтервалу;  — частота (частка) відповідно модального, передмодального та післямодального інтервалу.

Медіана (Ме) — це таке значення ознаки, що варіює, яке припадає на середину впорядкованого ряду, поділяючи його на дві рівні за обсягом частини. Для визначення медіани використовують кумулятивні частоти  або частки . У дискретному ряді медіаною є значення ознаки, кумулятивна частота якої перевищує половину обсягу сукупності, тобто  (для кумулятивної частки ). В інтервальному ряді за цим принципом визначають медіанний інтервал, а значення медіани всередині інтервалу, як і значення моди, обчислюють за інтерполяційною фор­мулою:

,

де  та h — відповідно нижня межа та ширина медіанного інтервалу;  — частота медіанного інтервалу;  — кумулятивна частота передмедіанного інтервалу.

У симетричному розподілі всі три зазначені характеристики центра розподілу однакові: , у помірно асиметричному відстань медіани до середньої втричі менша за відстань середньої до моди, тобто .

В одних сукупностях індивідуальні значення ознаки щільно групуються навколо центра розподілу, в інших — значно відхиляються, варіюють. Чим менша варіація, тим однорідніша сукупність, більш надійні й типові характеристики центра розподілу, передусім середня величина. Для вимірювання та оцінювання варіації використовують абсолютні та відносні харак­теристики.

Найпростішою з таких характеристик є варіаційний розмах R, що характеризує діапазон варіації і визначається як різниця між максимальним і мінімальним значеннями ознаки:

R = .

Більшість характеристик варіації визначають, усереднюючи відхилення індивідуальних значень ознаки від центра розподілу, поданого середньою величиною. Оскільки алгебраїчна сума відхилень дорівнює нулю (), то усереднюються модулі  або квадрати  відхилень. Середній з модулів відхилень називають середнім лінійним відхиленням , середній квадрат відхилень — дисперсією , корінь квадратний з дисперсії — середнім квадратичним відхиленням :

;      .

За первинними, незгрупованими даними наведені характеристики обчислюють за принципом незваженої середньої:

або      .

Середнє лінійне  та середнє квадратичне  відхилення — іменовані числа (в одиницях вимірювання ознаки), за змістом вони ідентичні, проте згідно з математичними властивостями > .

Дисперсію для ознак метричної шкали обчислюють за формулою:

,

де — середній квадрат значень ознаки; — квадрат середньої величини.

Дисперсія альтернативної ознаки обчислюється як добуток часток: , де — частка елементів сукупності, яким притаманна ознака,  — частка решти елементів .

Порівнюючи варіації різних ознак або однієї ознаки в різних сукупностях, використовують коефіцієнти варіації V. Вони визначаються відношенням абсолютних іменованих характеристик варіації (,, R) до центра розподілу і найчастіше виражаються у процентах. Отже, маємо коефіцієнти варіації:

лінійний ;

квадратичний ;

осциляції .

Аналіз закономірностей розподілу передбачає оцінку ступеня однорідності сукупності та симетричності розподілу. Критерієм однорідності сукупності вважається квадратичний коефіцієнт варіації, значення якого в симетричному розподілі становить .

Найпростішою мірою асиметричності розподілу є відхилення між характеристиками центра розподілу. Чим помітніша асиметрія, тим більше відхилення . Стандартизоване відхилення називають коефіцієнтом асиметрії . У разі правосторонньої асиметрії А > 0, у разі лівосторонньої — А < 0.

Оцінка нерівномірності розподілу між окремими складовими сукупності (наприклад, розподілу майна чи доходів між окремими групами населення) ґрунтується на порівнянні часток двох роз­поділів — за кількістю елементів сукупності  і обсягом значень ознаки  Якщо розподіл значень ознаки в сукупності рівномірний, то = , а відхилення часток свідчать про певну неоднорідність, яка вимірюється коефіцієнтами:

локалізації                              концентрації

Lj ,                          .

Коефіцієнт локалізації визначається для кожної складової сукупності, коефіцієнт концентрації є узагальнюючою для су­купності характеристикою відхилення розподілу від рівномірного.

Порівняння структур на основі відхилень часток — ефективний спосіб вимірювання диференціації сукупності за даними інтервальних рядів з нерівними інтервалами та атрибутивних рядів. У разі рівномірного розподілу всі значення Lj = 1, а К = 0. Чим помітніша диференціація, тим більше значення цих коефіцієнтів відхиляються, відповідно, від 1 та 0.

Структура будь-якої статистичної сукупності динамічна. Зміна часток окремих складових сукупності свідчить про структурні зрушення. Мірою інтенсивності структурних зрушень (у процентних пунктах — п. п.) є середнє лінійне  або середнє квадратичне  відхилення часток:

;       ,

де  та  — частки відповідно базисного та поточного періодів; m — кількість складових сукупності.

[1, с. 58—74; 2, с. 64—78; 3, с. 153—163; 184—191; 4,
с. 93—108]

Кумулятивна частота (частка) характеризує обсяг сукупності зі значеннями варіант, які не перевищують xj.

Абсолютні міри варіації: варіаційний розмах, середнє лінійне та середнє квадратичне відхилення, дисперсії.

Відносні міри варіації: коефіцієнти варіації, локалізації, концентрації.

Однорідна сукупністьце така сукупність, елементи якої мають спільні властивості і належать до одного типу. В однорідних сукупностях розподіли одновершинні (одномодальні).

1. Як виявляється закономірність розподілу?

2. Назвіть частотні характеристики розподілу і їх особливості.

3. Поясніть сутність характеристик центра розподілу. Як вони співвідносяться?

4. Середня величина ознаки у двох сукупностях однакова. Чи може бути різною варіація цієї ознаки?

5. Поясніть сутність середнього лінійного і середнього квадратичного відхилень. Чи ідентичні вони за змістом і чи однакові за значенням?

6. Як порівняти варіацію різних ознак або однієї ознаки в різних сукупностях?

7. На яких засадах ґрунтується оцінка нерівномірності розподілу? Поясніть зміст і особливості розрахунку коефіцієнтів локалізації та концентрації.

8. Які характеристики варіації застосовують для оцінювання інтенсивності структурних зрушень?

Плани практичних занять

Заняття 1.

1. Провести частотний аналіз ряду розподілу.

2. Визначити характеристики центра розподілу: середній рівень, моду і медіану, на основі їх співвідношення зробити висновок про характер розподілу.

3. За даними рядів розподілу оцінити варіацію ознак, ступінь згрупованості індивідуальних значень навколо центра розподілу.

Заняття 2.

  1. Провести порівняльний аналіз варіації різних ознак.
  2. Оцінити особливості варіації, ступінь відхилення розподілу від симетрії.

3. Оцінити нерівномірність розподілу значень ознак між окремими елементами сукупності, ступінь концентрації.

  1. Оцінити інтенсивність структурних зрушень.

Навчальні завдання

1. За даними опитування 300 жінок індивідуальні оцінки умов життя в цілому розподілилися так: нестерпно — 90 погано — 66, посередньо — 135, добре — 72, дуже добре — 18. Замінивши групові частоти частками, для кожної групи визначіть кумулятивні частки; проведіть частотний аналіз розподілу, зробіть висновки.

2. Терміни корисного використання нематеріальних активів фірми, захищених патентами й ліцензіями, на кінець року наведено в табл. 1.

Таблиця 1

Термін використання, років 1 2 3 4 5 6 Разом
У % до загальної суми нематеріальних активів 2,6 10,2 39,2 40,0 6,8 1,2 100

Визначіть ряд кумулятивних часток, медіану і моду терміну корисного використання нематеріальних активів фірми.

Відповідь. 3; 4.

3. Депозитні процентні ставки комерційних банків міста подано в табл. 2.

Таблиця 2

Депозитна ставка, % Суми залучених депозитів, млн грн.
І квартал ІІ квартал
До 10 5 2
10—14 11 8
14—18 8 18
18 і більше 6 12

Разом

30 40

За кожний квартал визначте середню депозитну ставку та середнє лінійне відхилення. Як змінилися середній рівень і варіація депозитної ставки?

  1. За результатами перевірки цукристість буряків характеризується даними, наведеними в табл. 3.

Таблиця 3

Цукристість % 12—14 14—16 16—18 18 і вища Разом
Кількість проб 1 3 4 2 10

Визначіть середній рівень та дисперсію цукристості буряків.

Відповідь. 16,4 %; 3,24.

5. Прибутковість капіталу металургійних комбінатів на початок року становила в середньому 15 % при дисперсії 36, на кінець року — 10 % при дисперсії 25. Оцініть відносну варіацію прибутковості капіталу на початок і кінець року. Зробіть висновок про напрям зміни середньої та варіації.

6. Частка високоліквідних активів у сумі поточних активів комерційних банків на початок року становила 30 %. Визначіть дисперсію частки високоліквідних активів.

Відповідь. 0,21.

7. Розподіл агропідприємств за рівнем урожайності кукурудзи, ц/га, на зрошуваних землях характеризує табл. 4.

Таблиця 4

Режим іригації Середній рівень Модальне значення Середнє квадратичне відхилення
1 60 5,7 12
2 75 70,5 9

Порівняйте варіацію та асиметрію розподілу агропідприємств за рівнем урожайності кукурудзи.

8. За наведеними в табл. 5 даними оцініть ступінь концентрації землі у фермерських господарствах. Зробіть висновок.

Таблиця 5

Земельна площа на одне господарство, га Структура господарств, %
за кількістю за земельною площею
До 10 8,3 2,3
10—50 29,2 6,5
50—200

200—500

500 і більше

38,0

20,2

4,3

24,9

25,7

40,6

Разом 100 100

Відповідь. 0,418.

9. На основі розподілу домогосподарств за рівнем забезпеченості житлом протягом двох років (табл. 6) оцініть інтенсивність структурних зрушень. Зробіть висновок.

Таблиця 6

Житлова площа на одного члена домогосподарства, м2 Кількість домогосподарств, у % до підсумку
1995 2000
До 10 60 45
10—20 26 34
20 і більше 14 21

Разом

100 100

Відповідь. 10 пунктів.

Задача 1. За даними ряду розподілу металообробного устаткування за віком (табл. 1) визначіть характеристики центра розподілу і варіації.

Таблиця 1

Вікова група, років Кількість одиниць устаткування Кумулятивна частка
До 4 10 2 20 10
4—8 25 6 150 35
8—12 45 10 450 70
12 і більше 20 14 280 100
Разом 100 х 900 х

Розв’язання

Середній вік устаткування становить  = 900 : 100 = 9 років. Найбільшу частоту має інтервал від 8 до 12 років (fmo = 45 ); ширина модального інтервалу h = 4; нижня межа х0 = 8; передмодальна частота  = 25, післямодальна —  = 20. За такого співвідношення частот модальне значення віку устаткування:

(років).

Визначаючи медіану, скористаємося кумулятивними частотами . За даними ряду розподілу половина обсягу сукупності  припадає на інтервал 8—12 з частотою  = 45; передмедіанна кумулятивна частота  = 35. Отже, медіана віку устаткування:

(років).

Дані для розрахунку узагальнюючих характеристик варіації наведено в табл. 2.

Таблиця 2

2 10 – 7 70 49 490
6 25 – 3 75 9 225
10 45 1 45 1 45
14 20 5 100 25 500
Разом 100 х 290 х 1260

Виконуючи обчислення, дістаємо:

(років);

(років); .

Задача 2. Розподіл теплових електростанцій регіону за потужністю (табл. 3) свідчить про нерівномірне споживання палива. Так, до першої групи належить 12 % ТЕС, а частка спожитого палива становить 4 %. Натомість шоста група містить 4 % ТЕС, які споживають 15 % палива. Оцініть ступінь концентрації споживання палива за допомогою коефіцієнта концентрації.

Таблиця 3

Потужність ТЕС, МВт У % до підсумку Модуль відхилення часток
Кількість ТЕС Спожито палива
До 100 12 4 0,16
100—200 20 10 0,10
200—400 35 27 0,08
400—1000 23 32 0,09
1000—2000 6 12 0,06
2000 і вище 4 15 0,11
Разом 100 100 0,60

Коефіцієнт концентрації К = 0,60 : 2 = 0,30 свідчить про помітний рівень концентрації споживання палива потужними ТЕС.

Задача 3. Структуру валового споживання енергоресурсів у регіоні за 1995 і 2000 роки характеризує табл. 4. Знайдіть лінійний коефіцієнт структурних зрушень.

Таблиця 4

Вид
енергоресурсів
У % до підсумку Відхилення часток Модуль відхилення
1995 р. 2000 р.
Тверде паливо 29 42 13 13
Атомна та гідроенергетика 23 18 – 5 5
Природний газ 45 36 – 9 9
Інші види 3 4 1 1

Разом

100 100 0 28

Розв’язання

Лінійний коефіцієнт структурних зрушень становить , тобто частки окремих видів енергоресурсів змінилися у середньому на 7 п.п.

загрузка...